Question

煙囪向其周圍散落煙塵造成環(huán)境污染．已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比．現(xiàn)有A，B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低．

Answer 1

分析：設(shè)B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，根據(jù)煙塵濃度與到煙囪距離的關(guān)系可求得A、B在C處的煙塵濃度，然后兩者相加可得y關(guān)于x的函數(shù)；再進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值，然后判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求得最小值．

解答：解：不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x．           …（2分）
C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

（0＜x＜20）．…（4分）
求導(dǎo)得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x) 3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=

20

3

…（11分）
∵當(dāng)x∈（0，

20

3

）時y′＜0，當(dāng)x∈（

20

3

，20）時y′＞0，
∴當(dāng)x=

20

3

時，y有最小值．   …（12分）
故存在點(diǎn)C，當(dāng)AC=

20

3

km時，該點(diǎn)的煙塵濃度最低．…（13分）

點(diǎn)評：本題以環(huán)保為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問題．屬中檔題．