Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上，又

PM

+

F2M

=0，M在y軸上，M為P、F₂的中點(diǎn)，由此解得b²=2，a²=4．從而能得到
所求橢圓C的方程．
（2）點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為M（x₁，y₁），由題設(shè)能導(dǎo)出3x₁-4y₁=-5x₀，由點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，知-2≤x₀≤2．由此可知3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．

解答：解：（1）由已知，點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上
∴有

2

a2

+

1

b2

=1①（1分）
又

PM

+

F2M

=0，M在y軸上，
∴M為P、F₂的中點(diǎn)，（2分）
∴-

2

+c=0，c=

2

．（3分）
∴由a²-b²=2，②（4分）
解①②，解得b²=2（b²=-1舍去），∴a²=4
故所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（2）∵點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為M（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

（8分）
解得

x1= 4y0-3x0 5 y1= 3y0-4x0 5

（10分）
∴3x₁-4y₁=-5x₀（11分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1上，∴-2≤x₀≤2∴-10≤-5x₀≤10．
即3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．