Question

（08年長沙一中一模文）如圖，已知、為平面上的兩個定點，為動點，

且（是和的交點）。

       （1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c的軌跡方程；

       （2）若點的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）。

 

Answer 1

解析：（1）如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系

       由題設(shè)，而

       點是以、為焦點，長軸長為10的橢圓，

       故點的軌跡方程為（6分）

       （2）解法一：如圖2，設(shè)，，且，

       即，又A、B在軌跡上，

       即

       代入整理得： （10分）

      

       即 （13分）

 

解法二：設(shè)，及中點坐標為，

       則、在軌跡上，，]

       兩式相減得，

       的中垂線的方程為，令得。

       即，又（13分）