Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：曲線不存在經(jīng)過原點的切線．

Answer 1

【答案】（1）時， 在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 時， 在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）研究單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)數(shù)，接著研究的正負，按或分類可得結(jié)論；（2）否定性命題，可用反證法，即假設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過原點，則，即，下面只要證明這個方程無實數(shù)解即可，這又要化簡此方程，然后用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得結(jié)論．

試題解析：（1）的定義域為， .

令，得，

當(dāng)，即時， ，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時，由解得

， ，且，

在區(qū)間及內(nèi)， ，在內(nèi)， ，

∴在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過原點，

則有，即，

化簡得： （*）

記，則，

令，解得.

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

∴是的最小值，即當(dāng)時， .

由此說明方程（*）無解，∴曲線沒有經(jīng)過原點的切線.