Question

【題目】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，拋物線在處的切線交于.

（1）求證：；

（2）設，當時，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）設直線的方程為，代入拋物線方程中，根據(jù)韋達定理和直線的斜率公式，以及導數(shù)的幾何意義，可求出點E的坐標，根據(jù)斜率的關系即可證明；（2）根據(jù)向量結合韋達定理可得，再根據(jù)弦長公式求三角形的面積公式表示出，根據(jù)函數(shù)的性質即可求出最小值．

（1）顯然斜率存在，設直線的方程，

代入拋物線方程中，得，

設，由韋達定理得到，

∵，∴，∴直線的斜率為，

易知切線方程，切線的方程，

當時，聯(lián)立求得：，故，

. ，∴，

又當時，顯然有.

所以.

（2）由，得，結合韋達定理，

，從而，

又，，

，

由于在區(qū)間上為減函數(shù)，

因此當有最小值.