Question

（2008•成都二模）如圖，已知邊長為2的正三角形ABC中線AF與中位線DE相交于點G，將此三角形沿DE折成二面角A₁-DE-B，設(shè)二面角A₁-DE-B的大小為θ，則當異面直線A₁E與BD的夾角為60°時，cosθ的值為（　�。�

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由△ABC為等邊三角形，AF為中線，知AF⊥BC．由DE為中位線，知BC∥DE，DE⊥AG，且DE⊥GF，故∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，即∠A₁GF=θ．由正△ABC的邊長為2，知AE=BD=1，A1G=GF=

1

2

AF=

3

2

，由異面直線A₁E與BD的夾角為60°，知∠A₁EF=60°，A₁F=1，由cosθ=

A1G2+GF2-A1F2

2A1G•GF

能求出cosθ的值．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，AF為中線
∴AF⊥BC
又∵DE為中位線，∴BC∥DE
∴AF⊥DE
即DE⊥AG，且DE⊥GF
∵沿著DE翻折
∴DE⊥A₁G
∵DE⊥AG，DE⊥GF，A₁G∩AG=G
∴DE⊥平面A₁GF
∴A₁G⊥DE，F(xiàn)G⊥DE，
∴∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，
即∠A₁GF=θ．
∵正△ABC的邊長為2，
∴AE=BD=1，A1G=GF=

1

2

AF=

3

2

，
連接EF，∵AE=EC=1，BF=FC=1，
∴EF

∥ .

.

BD，
∵異面直線A₁E與BD的夾角為60°，
∴∠A₁EF=60°，
∴△A₁EF是邊長為1的等邊三角形，
∴A₁F=1，
∴cosθ=

A1G2+GF2-A1F2

2A1G•GF

=

3 4 + 3 4 -1

2× 3 2 × 3 2

=

1

3

．
故選D．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．