Question

某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
（1）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚(yú)，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S_△DEF的最大值；
（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設(shè)求△DEF邊長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

CE

CB

=λ（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出點(diǎn)D到EF的距離為h=

3

2

（1-λ）百米，從而得到S_△DEF=

1

2

EF•h表示成關(guān)于λ的函數(shù)式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面積S_△DEF的最大值；
（2）設(shè)正三角形DEF的邊長(zhǎng)為a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，將CF和AF用a、α表示出，再用α分別分別表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并結(jié)合輔角公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的值域即可求得a的最小值．

解答：解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=

BC

AB

=

1

2

，可得B=60°
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
設(shè)

CE

CB

=λ（0＜λ＜1），則CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距離d=

3

2

CE=

3

2

λ百米，
∵C到AB的距離為

3

2

BC=

3

2

百米，
∴點(diǎn)D到EF的距離為h=

3

2

-

3

2

λ=

3

2

（1-λ）百米
可得S_△DEF=

1

2

EF•h=

3

2

λ（1-λ）百米²
∵λ（1-λ）≤

1

4

[λ+（1-λ）]²=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)λ=

1

2

時(shí)等號(hào)成立
∴當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，即E為AB中點(diǎn)時(shí)，S_△DEF的最大值為

3

8

百米²
（2）設(shè)正△DEF的邊長(zhǎng)為a，∠CEF=α
則CF=a•sinα，AF=

3

-a•sinα
設(shè)∠EDB=∠1，可得
∠1=180°-∠B-∠DEB=120°-∠DEB，α=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∴∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中，

a

sin30°

=

3 -asinα

sin∠ADF

即

a

1 2

=

3 -asinα

sin(120°-α)

，化簡(jiǎn)得a[2sin（120°-α）+sinα]=

3

∴a=

3

2sinα+ 3 cosα

=

3

7 sin(α+φ)

≥

3

7

=

21

7

（其中φ是滿足tanφ=

3

2

的銳角）
∴△DEF邊長(zhǎng)最小值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊直角三角形中求三角形邊長(zhǎng)和面積的最值，著重考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)、正弦定理和三角恒等變換等知識(shí)，考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型能力，屬于中檔題．