Question

已知函數(shù)．
（1）判斷f（x）的奇偶性并給出證明；
（2）若f（x）=2^x•k有兩個不同的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判定函數(shù)的奇偶性，只有按照定義進行，即先求函數(shù)的定義域，再判定f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（2）若方程有兩個不等的實根，則說明等號左右的兩個函數(shù)有兩個不同的交點，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程用△來處理．
解答：解：函數(shù)為R上的奇函數(shù)．
證明：由題得函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
又f（-x）====-f（x）
故函數(shù)在R上為奇函數(shù)．

（2）由f（x）=2^x•k 整理得：==2^x•k
設(shè)2^x=t，則t＞0，上式可化為1-，
化簡得kt²+（k-1）t+1=0，由題可知該式有兩個不等的實根．
所以，判別式△=（k-1）²-4k＞0
解得，k，或．
故k的取值范圍為 k，或．
點評：1、定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件．
2、判定函數(shù)奇偶性常見步驟：
①判定其定義域是否關(guān)于原點對稱，
②判定f（x）與f（-x）的關(guān)系．