Question

若函數(shù)f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）若關(guān)于θ（θ∈R）的方程f（sinθ）=2，求θ．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，我們易構(gòu)造使函數(shù)f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的解析式有意義的自變量x滿足的不等式組，解不等式即可得到函數(shù)的定義域，再由函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出函數(shù)f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）利用對數(shù)的運算性質(zhì)，我們易將方程f（sinθ）=2，轉(zhuǎn)化為一個三角方程，解三角方程，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）要使函數(shù)f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的解析式有意義．
自變量x必須滿足：

2+x＞0 2-x＞0

解得-2＜x＜2
∴函數(shù)f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的定義域為（-2，2）
又∵f（-x）=log₂（2-x）+log₂（2+x）=f（x）．
故函數(shù)f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）為偶函數(shù)
（Ⅱ）∵f（sinθ）=log₂（2+sinθ）+log₂（2-sinθ）=log₂（4-sin²θ）．
∴方程f（sinθ）=2可化為4-sin²θ=4
即sin²θ=0，即sinθ=0
解得：θ=kπ（k∈Z）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，其中熟練掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．