Question

17．設(shè)a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且滿足a²+b²+c²+d²=4．證明：a+b+c+d≥$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

Answer 1

分析 運(yùn)用公式：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2（ab+bc+cd+da+ac+bd）是證明本題的重要前提，再通過(guò)適當(dāng)換元并運(yùn)用作差比較法，二次函數(shù)的性質(zhì)證明不等式．

解答 證明：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2（ab+bc+cd+da+ac+bd），
設(shè)x=a+b+c+d，y=ab+bc+cd+da+ac+bd，因?yàn)閍²+b²+c²+d²=4，
所以，x²=4+2y，解得y=$\frac{1}{2}$（x²-4），
作差，A=（a+b+c+d）-$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）
=x-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$（x²-4）
=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{12}$
根據(jù)柯西不等式：a+b+c+d≤$\sqrt{4（a^2+b^2+c^2+d^2）}$=4，即x∈（0，4]，
所以，當(dāng)x=4時(shí)，A_min=-$\frac{1}{3}$（4-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{12}$=0，
因此，A≥0恒成立，
故a+b+c+d≥$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用作差法證明不等式，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)和柯西不等式的應(yīng)用，以及對(duì)函數(shù)思想，換元法的考查，屬于難題．