Question

已知函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）滿足：對于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．當a＞1時，x≤log_a4；當0＜a＜1時，x≥log_a4．
即當a＞1時，f（x）的定義域為（-∞，log_a4]；當0＜a＜1時，f（x）的定義域為[log_a4，+∞）．
令t=，則0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
當t≥0時，g（x）是t的單調(diào)減函數(shù)，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函數(shù)f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在實數(shù)a，使得對于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，則區(qū)間[-1，+∞）是定義域的子集．
由（1）知，a＞1不滿足條件；所以0＜a＜1，且log_a4≤-1，即．
令t=，由（1）知，f（x）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有≥1解得a^x≤3，
由題意知對任意x∈[-1，+∞），有a^x≤3恒成立，因為0＜a＜1，所以對任意x∈[-1，+∞），都有a^x≤a^-1．所以有a^-1≤3，解得，即．∴存在，對任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．
分析：（1）利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定義域和值域．
（2）要使函數(shù)在x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，則實質(zhì)是求函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上的最大值是否滿足條件．
點評：本題的考點是與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的定義域和值域問題，解決此類問題的關(guān)鍵是利用換元，將函數(shù)進行轉(zhuǎn)換判斷．