Question

( 本小題滿分12分)

已知集合中的元素都是正整數(shù)，且，對任意的且，有．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）對于，試給出一個滿足條件的集合

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 證明：見解析；

（Ⅱ）證明：見解析；

（Ⅲ）．

【解析】（1）因為，對任意的且，有．所以兩邊分別相加得.即.（2）由(Ⅰ)可得；同理，所以，即.（3）由（1）知，令，可取大于1的任意整數(shù)，令；同理令；；，則，令，則，令，則，令，則，令.就得到滿足條件的一個集合.

(Ⅰ) 證明：依題意有，又，

　　　　      因此．

　　　　      可得．

　　　　      所以．

　　　　      即．                    …………………4分

（Ⅱ）證明：由(Ⅰ)可得．

　　               又，可得，因此．

　　             同理，可知．

　　             又，可得，

　　             所以均成立．

　　             當(dāng)時，取，則，

　　             可知．

　　             又當(dāng)時，．

　　             所以．   ……………………………………………………8分

（Ⅲ）解：對于任意，，

由可知，

，即．

因此，只需對，成立即可．

因為；；；，

因此可設(shè)；；；；．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

所以滿足條件的一個集合．……………12分

其它解法，請酌情給分.