Question

設a，b，c為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c為R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)．
（1）求a，b，c應滿足的條件；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設x₀≥1，f（x₀）≥1，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系，即可求a，b，c應滿足的條件；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）利用換元法結合函數(shù)的單調(diào)性即可求解方程．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-bx+c為R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-x³-ax²+bx+c=-x³+ax²+bx-c，
即-a=a，c=-c，解得a=c=0，
此時f（x）=x³-bx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)，
即為R上的奇函數(shù)，為R上的奇函數(shù)，
則f′（x）=3x²-b≥0在[1，+∞）上恒成立，
胡b≤3x²在[1，+∞）上恒成立，即b≤3．
（2）∵f′（x）=3x²-b且b≤3，
∴若b≤0，則f′（x）=3x²-b≥0恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
若b＞0，由f′（x）=3x²-b＞0，得x＞

b 3

或x＜-

b 3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（

b 3

，+∞）和（-∞，-

b 3

），
由f′（x）=3x²-b＜0，解得-

b 3

＜x＜

b 3

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（-

b 3

，

b 3

）．
（3）設f（x₀）=t，則t≥1，f（t）=x₀≥1，即有x₀³-bx₀=t且t³-bt=x₀，
兩式相減得（x₀³-bx₀）-（t³-bt）=t-x₀，
即（x₀-t）（x₀²+x₀t+t²+1-b）=0，
∵t≥1，x₀≥1，b≤3，
∴x₀²+x₀t+t²+1-b≥1，
故x₀=t，即f（x₀）=x₀．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．