如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.
試題分析：本題第（1）問，證明直線與平面平行，可利用線面平行的判定定理來證明；對第（2）問，可先建立空間直角坐標系，由空間向量的坐標運算計算二面角，從而計算出AB，然后由棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.
試題解析：（1）證明：設O為AC與BD交點，連結(jié)OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點，因為E是BD的中點，所以OE∥PB，因為OE面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。
（2）以A為原點，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設AB=m，則
是平面AED的一個法向量，設是平面AEC的法向量，則
，解得，，所以令，得，所以
=，因為二面角的大小與其兩個半平面的兩個法向量的夾角相等哉互補，所以=，解得，因為E是PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，所以三棱錐E-ACD的體積為==.
【易錯點】對第（1）問，證明線面平行時,容易漏掉條件；對第（2）問，二面角的大小與兩個法向量夾角相等或互補的關系，一部分同學容易得出它們相等；并且計算法向量可能出現(xiàn)錯誤.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點.
（1）求證：CD⊥面ABB1A1；
（2）在側(cè)棱BB1上確定一點E，使得二面角E-A1C1-A的大小為.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：①1；    ②2；   ③3；   ④4；  

以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為(　　)
A．B．－C．D．－

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點，則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在如圖所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（   ）
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是(　　)
A．a(chǎn)，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－bD．a(chǎn)＋b，a－b，a＋2b

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，則x、y的值分別為(　　)
A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝D．x＝，y＝1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

到的距離除以到的距離的值為的點的坐標滿足(    )
A．
B．
C．
D．

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