Question

已知a、b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)x₁，x₂，…x_n和y₁，y₂，…y_n（n∈N^﹢，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…x_n，b成等差數(shù)列，a，y₁，y₂，…y_n，b成等比數(shù)列，則下列四個(gè)式子中，一定成立的是

①②

．（填上你認(rèn)為正確的所有式子的序號(hào)）
①

n

k=i

xi=

n(a+b)

2

；②

1

n

n

k=i

xi=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2；③

n	y1y2…yn

=

ab

；④

n	y1y2…yn

＞

2ab

a+b

．

Answer 1

分析：先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可判斷①②正確，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷③④不正確．

解答：解：依題意可知，a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差數(shù)列，則x₁+x₂+…+x_n=

(x1+xn)•n

2

∵x₁+x_n=a+b
∴

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

成立，故①正確；
∴

1

n

n

k=1

xk=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2
∴②成立
當(dāng)a=y₁=y₂=…=y_n=b時(shí)，

n	y1y2…yn

=

ab

，當(dāng)a，y₁，y₂，…，y_n，b不相等時(shí)，

n	y1y2…yn

＞

ab

，
故③④不正確；
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查數(shù)列與不等式的綜合，主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式的知識(shí)．考查綜合運(yùn)用能力．