Question

已知P是直線l：y=2x-8上的動點，過P作拋物線x²=4y的兩條切線，A，B為切點．
（Ⅰ）求證：直線AB過定點；
（Ⅱ）拋物線上是否存在定點C，使AC⊥BC，若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），兩條切線分別為l₁，l₂，
則有l(wèi)₁：xx₁=2（y+y₁），l₂：xx₂=2（y+y₂）
設P（a，2a-8），則有ax₁=2（2a-8+y₁），ax₂=2（2a-8+y₂）
∴ax₁-2y₁-2（2a-8）=0，ax₂-2y₂-2（2a-8）=0
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解
∴直線AB的方程為：ax-2y-2（2a-8）=0
即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8
∴直線AB過定點（4，8）；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程為：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8
代入拋物線方程可得x²-2ax+8a-32=0
∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=8a-32
設C（m，n），則AC⊥BC時，（m-x₁，n-y₁）•（m-x₂，n-y₂）=0
∴m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+n²-n（y₁+y₂）+y₁y₂=0
∴m²-2ma+8a-32+n²-n（a²-4a+16）+4a²-32a+64=0
∴（4-n）a²-（2m-4n+24）a+m²+n²-16n+32=0
∵a∈R，∴
∴m=-4，n=4
∴拋物線上存在定點C（-4，4），使AC⊥BC．
分析：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得切線方程，設P（a，2a-8），則可得（x₁，y₁），（x₂，y₂）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解，由此可得直線AB過定點；
（Ⅱ）AB的方程代入拋物線方程，設C（m，n），則AC⊥BC時，（m-x₁，n-y₁）•（m-x₂，n-y₂）=0，利用韋達定理，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查拋物線的切線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查定點的探求，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．