Question

已知數列{a_n}為等差數列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n及其前n項和S_n；
（Ⅱ）記數列{

1

S 2 n

}的前n項和為T_n，試用數學歸納法證明對任意n∈N^*，都有Tn≤

3

4

-

1

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為3+15=6+12，根據等差數列的性質可知a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，即可求出a₁₀的值，再根據a₇=14，利用待定系數法求出數列的首項與公差，根據首項與公差寫出通項公式及前n項和的公式即可；
（Ⅱ）先根據S_n的通項公式表示出

1

S n 2

=

1

n2(n+1)2

，（1）當n=1時，把n=1代入求值不等式成立；（2）再假設n=k時關系成立，利用通分和約分變形可得n=k+1時關系也成立，綜合（1）和（2），得到對于任意n∈N^*時都成立．

解答：解：（Ⅰ）因為{a_n}為等差數列，且3+15=6+12，所以a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，得a₁₀=20，
由a₁₀=a₁+9d及a₇=a₁+6d聯(lián)立解得a₁=2，d=2，
因此得a_n=2n，S_n=n²+n；
（Ⅱ）證明：

1

S 2 n

=

1

n2(n+1)2

，
（1）當n=1時，T1=

1

S 2 1

=

1

12×22

=

1

4

，

3

4

-

1

1+1

=

1

4

關系成立；
（2）假設當n=k時，關系成立，即Tk≤

3

4

-

1

k+1

，
則Tk+1=

1

S 1 2

+

1

S 2 2

+…+

1

S k 2

+

1

S k+1 2

≤

3

4

-

1

k+1

+

1

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

k3+4k2+4k+k2+4k+3

(k+1)2(k+2)2

＜

3

4

-

k3+2k2+k+2k2+4k+2

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

(k+1)2(k+2)

(k+1)2(k+2)2

=

3

4

-

1

k+2

=

3

4

-

1

(k+1)+1

，即當n=k+1時關系也成立．
根據（1）和（2）知，關系式Tn≤

3

4

-

1

n+1

對任意n∈N^*都成立．

點評：此題是一道綜合題，要求學生掌握等差數列的性質，會利用待定系數法求等差數列的通項公式及前n項的和公式，同時要求學生掌握數學歸納法在證明題中的運用．