Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=2是方程f（x）=0的一個根，求證：f（1）≤-2．

Answer 1

解：∵f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x₁=0，x₂=，則

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，0），（，+∞）

（2）若a=1，由（1）可得f（x）在上單調(diào)遞增，
則時，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的圖象不可能總在直線y=b的下方．
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，則x∈[0，2]時f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即對x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．
分析：（1）三次多項式函數(shù)的單調(diào)性問題，先求導，令f′（x）≥0和f′（x）≤0，解不等式即可．
（2）結(jié)合（1）問中函數(shù)的性質(zhì)求解．
（3）由f（x）在[0，2]上是增函數(shù)可求出a的范圍，x=2是方程f（x）=0的一個根，找出a和b的關(guān)系，可證．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用、分類討論思想，綜合性較強．