Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}，其中a₁=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由遞推式S_n=n²a_n（n∈N^*），利用當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，及“累乘求積”即可得出a_n；利用等比數(shù)列的通項公式即可得出b_n．
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）∵Sn=n2an(n∈N*)，
∴當(dāng)n≥2時，Sn-1=(n-1)2an-1，
∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，
∴（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，即

an

an-1

=

n-1

n+1

，
又∵a1=

1

2

，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

•

1

2

=

1

n(n+1)

．
當(dāng)n=1時，上式成立．
∴an=

1

n(n+1)

，
∵b₁=2，b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn=2n．
（2）由（1），知bn=2n．
∴1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

，
假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立，
即2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立，
由

m-8

4

≥2，解得m≥16，
∴存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立，此時m的最小值為16．

點評：本題考查了利用遞推式求數(shù)列的通項公式、“累乘求積”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式的解法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．