Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）為偶函數(shù)，如果點(diǎn)A（x，y）在函數(shù)f（x）的圖象上，且點(diǎn)B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的圖象上．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在實(shí)數(shù)λ，使F（x）在(-∞，-

2

2

)上為減函數(shù)，且在[-

2

2

，0)上為增函數(shù)？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0．
由因?yàn)辄c(diǎn)A（x，y）在函數(shù)f（x）的圖象上，且點(diǎn)B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的圖象上，所以c=1，所以f（x）=x²+1
（2）g（x）=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），F(xiàn)（x₁）-F（x₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）[x₁²+x₂²+（2-λ）]
由題設(shè)當(dāng)x₁＜x₂＜-

2

2

時(shí)，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞

1

2

+

1

2

+2-λ=3-λ，
則3-λ≥0，λ≤3；
當(dāng)-

2

2

＜x₁＜x₂＜0時(shí)，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞

1

2

+

1

2

+2-λ=3-λ，
則3-λ≥0，λ≥3故λ=3．