Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}，a₂=6，a₅=18．{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{4n-2}{{2}^{3-2n}}$=（2n-1）•4^n-1，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=6，a₅=18．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{{a}_{1}+4d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=2，4q=1，即q=$\frac{1}{4}$．
∴b_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2^3-2n．
（II）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{4n-2}{{2}^{3-2n}}$=$\frac{2n-1}{{4}^{1-n}}$=（2n-1）•4^n-1，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）×4^n-1，
4T_n=4+3×4²+…+（2n-3）×4^n-1+（2n-1）×4ⁿ，
∴-3T_n=1+2×（4+4²+…+4^n-1）-（2n-1）×4ⁿ=$1+2×\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{4-1}$-（2n-1）×4ⁿ=$\frac{5-6n}{3}$×4ⁿ-$\frac{5}{3}$，
∴T_n=$\frac{6n-5}{9}×{4}^{n}$+$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，可憐蟲(chóng)推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．