Question

2．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差數(shù)列．
（1）求證：x²+y²=3（x＞0）
（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），記θ為$\overrightarrow{PM}$與$\overrightarrow{PN}$的夾角，求tanθ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出要求軌跡的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出要用的向量，做出向量的數(shù)量積，根據(jù)$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差數(shù)列，列出不等式和等式，整理整式得到結(jié)果．
（2）求兩個(gè)向量的夾角，根據(jù)球向量夾角的公式，先用求出數(shù)量積和模的乘積，求出角的余弦值，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，用已知條件表示出tanθ

解答 解：（1）記P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得$\overrightarrow{PM}$=（-1-x，-y），
$\overrightarrow{PN}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{MN}$=（2，0），$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$=2（x+1）
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x²+y²-1，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$=2（1-x），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$是公差小于零的等差數(shù)列
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}2+{y}^{2}-1=\frac{1}{2}[2（1+x）+2（1-x）]}\\{2（1-x）-2（1+x）＜0}\end{array}\right.$
即x²+y²=3（x＞0），
∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的右半圓．
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=3，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x₀²+y₀²-1=2，
∵|$\overrightarrow{PM}$|•|$\overrightarrow{PN}$|=$\sqrt{（1+{x}_{0}）^{2}{{+y}_{0}}^{2}}•\sqrt{（1-{x}_{0}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
=$\sqrt{（4+2{x}_{0}）（4-2{x}_{0}）}$=2$\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
∵0＜x0≤$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜cosθ≤1，0≤θ＜$\frac{π}{3}$，
sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$
=$\sqrt{3-{{x}_{0}}^{2}}$=|y₀|．

點(diǎn)評 這是一個(gè)求軌跡的問題，考查利用向量的數(shù)量積求向量的夾角、等差數(shù)列的定義，同角的三角函數(shù)關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．