Question

(1)已知函數(shù)f(x)=x²,g(x)為一次函數(shù)，且為增函數(shù)，若f［g(x)］=4x²-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a²≠b²),求f(x);

(3)f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=x²+2x,求f(x);

(4)某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5 000元，且每生產(chǎn)100部，需要增加投入2 500元，對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為H(x)=500x-x²,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500.若x為年產(chǎn)量，y表示利潤(rùn)，求y=f(x)的解析式.

Answer 1

思路分析：已知函數(shù)的模型(如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)一般設(shè)出函數(shù)解析式，由題設(shè)確定系數(shù)，即待定系數(shù)法，如(1)；求抽象函數(shù)解析式，可以以變量換變量，然后解方程組求解析式，如(2)，也可根據(jù)函數(shù)奇偶性確定解析式，如(3)；實(shí)際應(yīng)用問題的函數(shù)解析式則要符合實(shí)際意義.

解：(1)設(shè)g(x)=ax+b(a＞0),a²x²+2abx+b²=4x²-20x+25(a＞0).解得

    ∴g(x)=2x-5.

    (2)由題設(shè)af(x)+bf()=cx,用x代換上式中的,則af()+bf(x)=,列方程組解得f(x)=(ax-).

    (3)由于f(x)的定義域是R，且f(x)是奇函數(shù)，可得f(0)=0.

    當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0,則f(-x)=(-x)²-2x=x²-2x.

    ∴-f(x)=x²-2x,即f(x)=-x²+2x(x＞0).

    ∴f(x)=

    (4)由題意知，當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出；當(dāng)x＞500時(shí)，只能售出500部，故利潤(rùn)函數(shù)

    y=

    =