Question

已知（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若a＞1，用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇1-log_an，1-log_am]，若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由得：x＜-1或x＞1．
所以，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
又∵
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/425741.png' />
所以，又因?yàn)閍＞1，所以，
故f（x₁）＞f（x₂），所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件．
由題意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴1＜m＜n
又∵1-log_an＞1-log_am，
∴l(xiāng)og_am＞log_an，解得a＞1．
由（2）得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減．
故，，所以，
所以，∴m，n是方程x²+（1-a）x+a=0的兩個(gè)不同的實(shí)根．
故，方程x²+（1-a）x+a=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根．
則，解得：．又∵a＞1，
所以，
所以，滿足題目條件的實(shí)數(shù)a存在，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式，解之即可求出函數(shù)的定義域，判定是否對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數(shù)的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件，然后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)性建立等式關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化成方程x²+（1-a）x+a=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，從而可求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及單調(diào)性的判定和奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．