Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R，且a≠0）．
（1）當(dāng)b=2時(shí)，若函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0且2a+b=1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再將函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在x∈(0，+∞)上有無窮多個(gè)解問題，最后可利用參變分離法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，得a的取值范圍；（2）先將函數(shù)中的參數(shù)統(tǒng)一為a，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值、最值，最后利用這些性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可

解答：解：（1）當(dāng)b=2時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-ax²-2x，其定義域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-2=-

2ax2+2x-1

x

．
∵函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴f′(x)=-

2ax2+2x-1

x

≤0在x∈(0，+∞)的一個(gè)子區(qū)間上恒成立．
∴關(guān)于x的不等式2ax²+2x-1≥0在x∈(0，+∞)的一個(gè)子區(qū)間上恒成立．
則關(guān)于x的不等式2a≥

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1在x∈(0，+∞)一個(gè)子區(qū)間上成立，
∴2a＞-1，即a＞-

1

2

，而a≠0．
∴a的取值范圍為(-

1

2

，0)∪(0，+∞)．
（2）當(dāng)b=1-2a時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x，其定義域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-(1-2a)=-

2ax2+(1-2a)x-1

x

．
令f′（x）=0，得

2ax2+(1-2a)x-1

x

=0，即2ax²+（1-2a）x-1=0，（x-1）（2ax+1）=0，
∵x＞0，a＞0，則2ax+1＞0，
∴x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-a-b=-a-1+2a=a-1．
①當(dāng)a=1時(shí)，f（1）=0，若x≠1，則f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
此時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）＞0，
又f(

1

ea

)=ln

1

ea

-a•(

1

ea

)2-(1-2a)×

1

ea

=-a(

1

ea

-1)2-

1

ea

＜0，f（e）=lne-ae²-（1-2a）e=1-ae（e-2）-e＜0，
函數(shù)f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（1）＜0，函數(shù)f（x）與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分布間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而解決函數(shù)根的分布和根的個(gè)數(shù)問題的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法