Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₂+a₃+a₄=28，故a₃=8．a(chǎn)₂+a₄=20．由此能夠推導(dǎo)出a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ•$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，由錯(cuò)位相減法可得S_n，再由S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹，解不等式即可得到n的最小值．

解答 解：（1）依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，
又a₂+a₃+a₄=28，解得₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又{a_n}是遞增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ•$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ=-n•2ⁿ，
-S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
-2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
相減可得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
由S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹，可得2ⁿ⁺¹＞256=2⁸，
即為n+1＞8，即n＞7，
則n的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活地運(yùn)用公式解答．