Question

已知在△ABC中，已知向量

m

=（sinB，sinA-2sinC），

n

=（cosA-2cosC，cosB），且

m

⊥

n

．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若∠C=∠A+

π

3

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由向量和三角函數(shù)運(yùn)算，變形可得；
（2）由（1）知sinC=2sinA，把C=A+

π

3

代入化簡(jiǎn)可得

3

sin（A-

π

6

）=0，可得A=

π

6

，C=

π

2

，可判為直角三角形．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinB，sinA-2sinC），

n

=（cosA-2cosC，cosB），
∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=sinB（cosA-2cosC）+（sinA-2sinC）cosB=0，
∴cosAsinB-2sinBcosC+sinAcosB-2cosBsinC=0，
∴cosAsinB+sinAcosB=2sinBcosC+2cosBsinC
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
∴

sinC

sinA

=2；
（2）由（1）知sinC=2sinA，又∠C=∠A+

π

3

，
∴sin（A+

π

3

）=2sinA，∴

1

2

sinA+

3

2

cosA=2sinA，
∴

3

2

sinA-

3

2

cosA=0，即

3

sin（A-

π

6

）=0，
∴A=

π

6

，∴C=A+

π

3

=

π

2

∴△ABC的形狀為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形，涉及向量的運(yùn)算和三角形形狀的判定，屬中檔題．