Question

9．設(shè)e₁、e₂分別是具有公共焦點(diǎn)F₁、F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，O是F₁F₂的中點(diǎn)，且滿足|PO|=|OF₂|，則$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的長(zhǎng)半軸，雙曲線的實(shí)半軸，它們的半焦距，利用橢圓的和雙曲線的定義可得焦半徑，寫出兩個(gè)曲線的離心率，即可得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸是a₁，雙曲線的實(shí)半軸是a₂，它們的半焦距是c．
并設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵|PO|=|OF₂|，∴PF₁⊥PF₂，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡(jiǎn)可得a₁²+a₂²=2c²
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$$+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2
∴$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義得到兩個(gè)曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．