Question

9．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB=AC=BC=$\sqrt{3}$，CD=AD=1，已知$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CB}$，λ∈（0，1），且存在實數(shù)t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，則$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{2}$λ，存在實數(shù)t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，則D，E，F(xiàn)共線，再由S_△CDF=S_△CDE+S_△CEF，運用三角形的面積公式計算可得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=-λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
=-$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$λ×cos60°=-$\frac{3}{2}$λ，
由$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CB}$，可得AE=CF=$\sqrt{3}$λ，
CE=$\sqrt{3}$（1-λ），
在△ACD中，AC=$\sqrt{3}$，CD=AD=1，則∠DCA=30°，
存在實數(shù)t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，
即有D，E，F(xiàn)共線．
則S_△CDF=S_△CDE+S_△CEF，
即有$\frac{1}{2}$CD•CF=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°+$\frac{1}{2}$CE•CF•sin60°，
即1•$\sqrt{3}$λ=1•$\sqrt{3}$（1-λ）•$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$（1-λ）•$\sqrt{3}$λ•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和向量共線定理，考查三角形的面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．