Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2．AB⊥AC．
D、E分別為AA₁、B₁C的中點．
（1）求DE的長；
（2）證明：DE⊥平面BCC₁；
（3）求二面角D-BC-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，求出A，B，C，C₁，B₁，A₁，坐標．
（1）利用D、E分別為AA₁、B₁C的中點，求出坐標，即可求DE的長．
（2）通過計算向量的數量積為0，證明DE⊥BC，DE⊥CC₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明DE⊥平面BCC₁．
（3）求出平面DBC的一個法向量，

DE

是平面BCC₁的一個法向量，利用向量的數量積求解二面角D-BC-C₁的余弦值．

解答： 解：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，…（1分）
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2）…（2分）




（1）∵D、E分別為AA₁、B₁C的中點
∴D(0，0，1)，E(

1

2

，

1

2

，1)
∴

DE

=(

1

2

，

1

2

，0)…（3分）
∴|

DE

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+02

=

2

2

…（4分）
（2）證明：由已知，得

BC

=(-1，1，0)，

CC1

=(0，0，2)
又∵

DE

•

BC

=

1

2

×(-1)+

1

2

×1+0×0=0

DE

•

CC1

=

1

2

×0+

1

2

×0+0×2=0
∴

DE

⊥

BC

，

DE

⊥

CC1

∴即DE⊥BC，DE⊥CC₁…（7分）
又∵DE?平面BCC₁，CC₁?平面BCC₁，且BC∩CC=C
∴DE⊥平面BCC₁                            …（8分）
（3）由已知得

BD

=(-1，0，1)，設平面DBC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

⊥

BD

，

n

⊥

BC

，∴

n

•

BD

=0，

n

•

BC

=0
∴

-x+z=0 -x+y=0

令z=1，則x=1，y=1，∴

n

=(1，1，1)…（10分）
由（2），知

DE

是平面BCC₁的一個法向量                 …（11分）
又

DE

•

n

=

1

2

×1+

1

2

×1+0×1=1，|

n

|=

12+12+12

=

3

，|

DE

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+02

=

2

2

∴cos＜

DE

，

n

＞=

DE • n

| DE |•| n |

=

1

2 2 × 3

=

6

3

…（13分）
∴二面角D-BC-C₁的余弦值為

6

3

…（14分）
（取BC的中點F，可證∠DFE是二面角D-BC-C₁的平面角）

點評：本題考查向量在立體幾何中的應用，二面角的平面角的求法，直線與直線的垂直，直線與平面的垂直數量積為0的應用．考查空間想象能力以及計算能力．