已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對(duì)邊,△ABC的外接圓半徑是
2
,且滿(mǎn)足條件a2+b2=ab+c2
(1)求角C與邊c.
(2)求△ABC面積的最大值.
分析:(1)利用余弦定理表示出cosC,將已知的等式變形后代入,求出cosC的值,由C為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù),再利用正弦定理得到
c
sinC
=2R,把sinC及R的值代入,即可求出c的值;
(2)利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC,把c及cosC的值代入,并利用基本不等式化簡(jiǎn),可得出ab的最大值,然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,把a(bǔ)b的最大值及sinC的值代入,即可求出三角形面積的最大值.
解答:解:(1)∵a2+b2=ab+c2,即a2+b2-c2=ab,
∴由余弦定理得:cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
ab
2ab
=
1
2
,
又C為三角形的內(nèi)角,
∴C=60°,
又△ABC的外接圓半徑R=
2
,
∴由正弦定理
c
sinC
=2R得:c=2
2
sin60°=
6

(2)∵c=
6
,cosC=
1
2

∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得:6=a2+b2-ab≥2ab-ab,
∴ab≤6,
∴S=
1
2
absin60°≤
3
3
2
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
6
時(shí)等號(hào)成立,
則△ABC面積的最大值為
3
3
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦、余弦定理,三角形的面積公式,特殊角的三角函數(shù)值,以及基本不等式的運(yùn)用,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊.
(1)若b2=ac,求角B的范圍.
(2)若acosA=bcosB,試判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若a=1,b=
3
,A+C=2B,則sinC=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,若
cosB
cosC
=-
b
2a+c
,則B=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,且sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC.
 (1)求角B的大小;
 (2)若c=3a,求tanA的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且滿(mǎn)足2asinB-
3
b=0.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)當(dāng)A為銳角時(shí),求函數(shù)y=
3
sinB+sin(C-
π
6
)的最大值.

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