Question

如圖所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)

專題：立體幾何

分析：通過(guò)證明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，證得△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC=2．

解答： 解：令CP=BM，交AC延長(zhǎng)線于P，連接DP．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°
又∵△ABC等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理可得∠NCD=90°
∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
又∵CP=BM，
∴△BDM≌△CDP
∴MD=PD
∠MDB=∠PDC
∵∠MDN=60°
∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°
∴△NMD≌△NPD（SAS）
∴MN=PN=NC+CP=NC+BM
∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2
故△AMN的周長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解一些簡(jiǎn)單的結(jié)論．