Question

已知函數(shù) （a≥0）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)
得：
=
=．
因為x=2為f（x）的極值點，所以f^′（2）=0．
即，解得：a=0．
又當(dāng)a=0時，f^′（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點成立．
（2）由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
則g（x）＞0與g（x）＜0在區(qū)間[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的對稱軸為，
因此只要g（3）＜0即說明g（x）＜0在區(qū)間[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：或．
因為a≥0，所以．
綜上所述，a的取值范圍是（，+∞）．
（3）若a=時，方程可化為：．
問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因為g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則，
當(dāng)0＜x＜1時，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，當(dāng)x=1時，b取得最大值0．
所以，當(dāng)時，使方程有實根的b的最大值為0．
分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由x=2為f（x）的極值點，所以f^′（2）=0，由此列式求出實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，說明當(dāng)x∈[3，+∞）時函數(shù)有意義，據(jù)此判斷出a≥0，根據(jù)（1）中求出的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0在[3，+∞）上都有解既能說明y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；然后由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0在[3，+∞）上都有解求出a的范圍取交集；
（3）把代入函數(shù)解析式，整理方程，分離出變量b，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題．
點評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了分類討論思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在給定的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，說明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上不同號，此題有一定難度，屬難題．