Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）為偶函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）設(shè)g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)（a≠0），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用偶函數(shù)的定義即f（-x）=f（x）對(duì)所有x∈R都成立，代入整理即可求常數(shù)k的值；
（2）先利用（1）的結(jié)論對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式求出真數(shù)的取值范圍，代入原函數(shù)即可求出f（x）的最小值；
（3）把兩方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)方程只有一個(gè)根時(shí)滿足的條件即可．（注意本題涉及到對(duì)數(shù)形式，須滿足真數(shù)大于0這一條件）．

解答：解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
故log₄（4^-x+1）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-（k-1）x對(duì)所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0對(duì)所有x∈R都成立，
∴k=

3

2

．（4分）
（2）由（1）得f(x)=log4(4x+1)-

x

2

，即f(x)=log4

4x+1

2x

．（2分）
log4(2x+

1

2x

)≥log42=

1

2

，
故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，（3分）
f（x）的最小值是

1

2

．（5分）
（3）由方程log4(4x+1)-

x

2

=log4(a•2x-

4

3

a)（*）
可變形為

4x+1 2x =a•2x- 4 3 a① a•2x- 4 3 a＞0②

，由②得

a＞0 2x＞ 4 3

或

a＜0 2x＜ 4 3

，
令2^x=t，則

a＞0 t＞ 4 3

，或

a＜0 0＜t＜ 4 3

由①得(a-1)(2x)2-

4

3

a•2x-1=0，設(shè)h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1（2分）
∴當(dāng)a＞0時(shí)，(a-1)h(

4

3

)＜0?a＞1，（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，h（0）=-1＜0，
∴h(

4

3

)＞0?a不存在，
當(dāng)△=(-

4

3

a)2+4(a-1)=0時(shí)，a=

3

4

或a=-3，
若a=

3

4

，則t=-2，不合題意，舍去，若a=-3，則t=

1

2

，滿足題意，（5分）
∴當(dāng)a=-3或a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)與方程的綜合問題．其中涉及到對(duì)數(shù)形式，在做題時(shí)一定要注意須滿足真數(shù)大于0這一條件，這是易錯(cuò)點(diǎn)．