Question

（2012•房山區(qū)一模）今年雷鋒日，某中學從高中三個年級選派4名教師和20名學生去當雷鋒志愿者，學生的名額分配如下：

高一年級	高二年級	高三年級
10人	6人	4人

（I）若從20名學生中選出3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高一年級學生的概率；
（II）若將4名教師安排到三個年級（假設每名教師加入各年級是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨立的），記安排到高一年級的教師人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）利用古典概型的概率公式，可求恰好有1人是高一年級學生的概率；
（II）確定ξ的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應的概率，從而可得隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望；利用隨機變量ξ服從參數(shù)為4，

1

3

的二項分布，也可求．

解答：解：（I）設“他們中恰好有1人是高一年級學生”為事件A，則P(A)=

C 1 10 C 2 10

C 3 20

=

15

38

答：若從選派的學生中任選3人進行文明交通宣傳活動，他們中恰好有1人是高一年級學生的概率為

15

38

．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值為0，1，2，3，4．由題意可知，每位教師選擇高一年級的概率均為

1

3

．所以  …（6分）P(ξ=0)=

C

0 4

(

1

3

)0(

2

3

)4=

16

81

；       P(ξ=1)=

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)3=

32

81

；P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

=

8

27

；P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)1=

8

81

；
P(ξ=4)=

C

4 4

(

1

3

)4(

2

3

)0=

1

81

．…（11分）
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

…（12分）
所以Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

…（13分）
解法2：由題意可知，每位教師選擇高一年級的概率均為

1

3

．…（5分）
則隨機變量ξ服從參數(shù)為4，

1

3

的二項分布，即ξ～B(4，

1

3

)．…（7分）
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

所以Eξ=np=4×

1

3

=

4

3

…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．