Question

設(shè)已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a，(a∈R)
（1）若x∈R，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求滿足f（x）=1且x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式，二倍角公式，哈見函數(shù)的解析式為 2sin(2x+

π

6

)+a+1，由
 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z 求得x的范圍，即時(shí)所求的增區(qū)間．
（2）根據(jù)角的范圍可得，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）的最大值為3+a=4，解得a 的值．
（3）由條件可得 sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，故 2x+

π

6

=-

π

6

+2kπ或-

5π

6

+2kπ，k∈z，再由x∈[-π，π]，求得
 x的集合．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1，
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，sin(2x+

π

6

)=1，即f（x）的最大值為3+a=4，∴a=1
（3）∵2sin(2x+

π

6

)+2=1，∴sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，∴2x+

π

6

=-

π

6

+2kπ或-

5π

6

+2kπ，k∈z，
∵x∈[-π，π]，∴x的集合為{-

π

6

，

5π

6

，-

π

2

，

π

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的正弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，確定角的取值范圍，是解題
的難點(diǎn)．