Question

（2012•泰安二模）給出下列三個命題：
①若直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
②雙曲線C：

x2

16

-

y2

9

=-1的離心率為

5

3

；
③若⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線；
④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）+9-0互相垂直，則a=-1．
其中正確命題的序號是

②③

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①利用|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，進行判斷．
②先將雙曲線方程化成標準形式，再利用其幾何性質求出離心率即可進行判斷．
③求出兩個圓的圓心和半徑，再求出圓心距，由兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，從而得出結論．
④由直線垂直的等價條件求出兩直線垂直時a的值，再判斷其是否成立．

解答：解：①∵過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²
的方程即x²=

1

2

y 知，p=

1

4

，2p=

1

2

，則|AB|的最小值為

1

2

，故①不正確．
②雙曲線C：

x2

16

-

y2

9

=-1即

y2

9

-

x2

16

=1，
a=3，b=4，c=5，∴它的離心率為

5

3

；正確．
③∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于

2

的圓．
兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線
由2條，故③正確．
④當直線a²x-y+6=0與4x-（a-3）y+9=0互相垂直時，則有4a²+（a-3）=0，解得a=-1或

3

4

，故錯．
故答案為：②③．

點評：本題考查直線、拋物線、雙曲線、圓的性質，兩圓的位置關系，掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵．