Question

【題目】如圖，在三棱柱中，， .

(I)求證：;

(II)在棱 上取一點 M, ,若與平面所成角的正弦值為，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（I）由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)果；(II)取的中點為,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明，兩兩垂直，以，

的正方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，求出，由（1）知平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.

（I）證明：由題意知四邊形是菱形，

則，如圖，設(shè)，

連接,易求得，又為的中點，

所以,

又，

所以，

所以

(II)解：如圖所示，取的中點為,

則由,

得,

又平面,

平面,

所以，

又,所以，

以為原點，的正方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，

則

,設(shè)，則由,

得所以，

由（1）知平面的一個法向量為

所以,

解得或-1(負值舍去)，

所以