Question

曲線y=x²與直線y=x所圍成的平面圖形繞x軸轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出曲線y=x²與直線y=x交點(diǎn)O、A的坐標(biāo)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的積分計(jì)算公式，可得所求旋轉(zhuǎn)體的體積等于函數(shù)y=π（x²-x⁴）在[0，1]上的積分值，再用定積分計(jì)算公式加以計(jì)算即可得到該旋轉(zhuǎn)體的體積．

解答： 解：∵曲線y=x²與直線y=x交于點(diǎn)O（0，0）和A（1，0）
∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的積分計(jì)算公式，可得
該旋轉(zhuǎn)體的體積為V=

∫

1 0

π(x2-x4)dx=π（

1

3

x³-

1

5

x⁵）|

1 0

=π[（

1

3

×1³-

1

5

×1⁵）-（

1

3

×0³-

1

5

×0⁵）]=

2π

15

．
故答案為：

2π

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出曲線y=x²與直線y=x所圍成的平面圖形，求該圖形繞x軸轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積．著重考查了利用定積分公式計(jì)算由曲邊圖形旋轉(zhuǎn)而成的幾何體體積的知識(shí)．