Question

已知函數(shù)y=f（x）為R上偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（4），f（3）=，且當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）做出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅲ）由f（x）的圖象說明函數(shù)g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（0）=f（4），f（3）=，得16a+4b=0，且9a+3b+c=，且對稱軸為x=2，因?yàn)閤≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
所以f（2）=0，即4a+2b+c=0，所以解得a=，b=-1，c=1．即x≥0時(shí)，f（x）=x²-x+1．
當(dāng)x＜0，則-x＞0，則f（-x）=x²+x+1，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）為R上偶函數(shù)，所以f（-x）=x²+x+1=f（x），即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+1．
所以．
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363146.png' />，所以作出函數(shù)圖象為：
（Ⅲ）由g（x）=2f²（x）-3f（x）+1=0，解得f（x）=1或f（x）=．
令t=f（x），則由圖象可知，當(dāng)f（x）=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)f（x）=時(shí)，函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè)．
分析：（Ⅰ）先由條件確定a，b，c，然后利用奇偶性確定f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用解析式，作出二次函數(shù)的圖象．
（Ⅲ）利用換元，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)與方程的．在解決函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的問題時(shí)，經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合思想．