Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）．
（I） 求a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若對任意正整數(shù)n，k≤S_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

解：（I）∵a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N⁺）
∴當(dāng)n=1時(shí)，3a₂+2a₁=3，∴）
∴當(dāng)n=2時(shí)，3a₃+2（a₁+a₂）=3，∴
∵3a_n+1+2s_n=3①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+2s_n-1=3  ②
由①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0
∴，
又∵，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
∴
（II）由（I）知
由題意可知，對于任意的正整數(shù)n，恒有
令f（n）=，則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)n=1時(shí)，f（n）_min=1 
∴必有k≤1，即實(shí)數(shù)k的最大值為1．
分析：（I）利用a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N⁺），令n=1、2，可求a₂，a₃的值，n≥2時(shí)，3a_n+2s_n-1=3與條件相減，可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求出等比數(shù)列的和，求出數(shù)列和的最小值，即可得到實(shí)數(shù)k的最大值．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列的定義，確定函數(shù)的單調(diào)性．