Question

12．已知直角三角形ABC的三邊之和為2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)直角邊長(zhǎng)為a，b，則斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，利用直角三角形ABC的三邊之和為2，可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，利益基本不等式，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：設(shè)直角邊長(zhǎng)為a，b，則斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∵直角三角形ABC的三邊之和為2，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
∴2≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴ab≤6-4$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤3-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積的最大值為3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．