Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB, PC的中點 。

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；    

（3）若PA＝AD，求二面角P—DC—A的平面角的大小．

 

Answer 1

證：連AC，設(shè)AC中點為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點
       ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，

∵ E、O分別為AB、AC的中點     

∴ EO∥BC ,又       

∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②

綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD  ∵ EF  平面EFO 

∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD                          

∴ EO⊥CD  又      ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC              

∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）PA＝AD，則PDA＝45，易證所求的二面角為PDA＝45。