Question

若?x∈（0，

1

2

]，恒有4^x＜log_ax，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若當(dāng)0＜x≤

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時(shí)，不等式4^x＜log_ax恒成立，則在0＜x≤

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時(shí)，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分析畫(huà)出指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．

解答： 解：當(dāng)0＜x≤

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2

時(shí)，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線(xiàn)所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（

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，2）點(diǎn)時(shí)，a=

2

2

故虛線(xiàn)所示的y=log_ax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足

2

2

＜a＜1
故答案為：(

2

2

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．