Question

已知：(

1

2

+2x)n的二項展開式前三項的二項式系數和等于79．
（1）求展開式的二項式系數之和與系數之和；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由展開式前三項的二項式系數和等于79，可得關于n的方程C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二項式系數的性質可得其展開式二項式系數之和，在（

1

2

+2x）¹²中，令x=1可得其展開式的系數之和；
（2）根據題意，假設T_k+1項的系數最大，T_k+1項的系數為r_k，則有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

，代入數據，解可得k=10，即展開式中系數最大的項為T₁₁，計算可得T₁₁的值，即可得答案．

解答：解：（1）根據題意，(

1

2

+2x)n的二項展開式的通項為T_r+1=2^r•C_n^r•（

1

2

）^n-r•x^r，
由其二項展開式前三項的二項式系數和等于79，則C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+

n(n+1)

2

=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
則其展開式二項式系數之和為2¹²=4096，
令x=1，可得（

1

2

+2）¹²=（

5

2

）¹²，即其展開式的系數之和（

5

2

）¹²，
（2）設T_k+1項的系數最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k-1 12 4k-1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開式中系數最大的項為T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展開式中系數最大的項16896x¹⁰．

點評：本題考查二項式定理的應用，涉及二項展開式中二項式系數和與系數和問題，容易出錯．要正確區(qū)分這兩個概念．