Question

（2005•東城區(qū)一模）已知m∈R，研究函數(shù)f(x)=

mx2+3(m+1)x+3m+6

ex

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：先利用分式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則求出f'（x），然后化簡(jiǎn)得f'（x）=

-mx2-(m+3)x-3

ex

，記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，∵e^x＞0．從而只需討論g（x）的正負(fù)即可，討論二次項(xiàng)的正負(fù)以及g（x）=0有兩個(gè)根的大小，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f'（x）=

[2mx+3(m+1)]ex-[mx2+3(m+1)x+3m+6]e2

(ex)2

=

-mx2-(m+3)x-3

ex

．…（3分）
記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，
∵e^x＞0．
∴只需討論g（x）的正負(fù)即可．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=-3x-3．
當(dāng)g（x）＞0時(shí)，x＜-1，f'（x）＞0；
當(dāng)g（x）＜0時(shí)，x＞-1，f'（x）＜0．
∴當(dāng)m=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），減區(qū)間為（-1，+∞）．…（5分）
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根；x₁=-

3

m

，x2=-1，
①當(dāng)m＜0時(shí)，x₁＞x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；
在區(qū)間（-1，-

3

m

）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；…（7分）
②當(dāng)0＜m＜3時(shí)，x₁＜x₂，在區(qū)間（-∞，-

3

m

），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間（-

3

m

，-1）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；…（9分）
當(dāng)m=3時(shí)，x₁=x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∵f（x）在x=-1處連續(xù)，∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；…（11分）
④當(dāng)m＞3時(shí)，x₁＞x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；
在區(qū)間（-1，-

3

m

）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．