Question

已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點，其離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點．求|OP|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由已知可得，得出3a²=4b²①又點在橢圓C上，得到解之即得a，b．從而寫出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先對k 分類討論：當(dāng)k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得，所以；當(dāng)k≠0時，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|OP|的取值范圍，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①（1分）
又點在橢圓C上，
所以②（2分）
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．（5分）
（Ⅱ）當(dāng)k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得，
所以．（6分）
當(dāng)k≠0時，則由
消y化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③（8分）
設(shè)A，B，P點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x，y），
則．（9分）
由于點P在橢圓C上，所以．（10分）
從而，化簡得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗滿足③式．（11分）
又
=
=．（12分）
因為，得3＜4k²+3≤4，有，
故．（13分）
綜上，所求|OP|的取值范圍是．（14分）
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．當(dāng)研究橢圓和直線的關(guān)系的問題時，�？衫�用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來解決．