Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，如果為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為“科比數(shù)列”．
（1）等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差不為零，若{b_n}是“科比數(shù)列”，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若C₁³+C₂³+C₃³+…C_n³=S_n²對(duì)任意n∈N^*都成立，試推斷數(shù)列{c_n}是否為“科比數(shù)列”？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），
，因?yàn)閎₁=1，
則，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．…（4分）
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，
則，
解得．　…（6分）
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2n-1．…（7分）
（2）由已知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁³=S₁²=c₁²．
因?yàn)閏₁＞0，所以c₁=1． …（8分）
當(dāng)n≥2時(shí)，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，
c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．
兩式相減，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因?yàn)閏_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．…（10分）
顯然c₁=1適合上式，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1
=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因?yàn)閏_n+c_n-1＞0，則c_n-c_n-1=1，
所以數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以不為常數(shù)，
故數(shù)列{c_n}不是“科比數(shù)列”． …（14分）
分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），，因?yàn)閎₁=1，所以（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，則，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁³=S₁²=c₁²．因?yàn)閏₁＞0，所以c₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．所以c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．由此能推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．從而得到數(shù)列{c_n}不是“科比數(shù)列”．
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算繁瑣易出錯(cuò)．解題時(shí)要細(xì)心，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．