Question

已知函數(shù)f（x）=ax-a（a≠0），g（x）=e^x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，若不等式f（x）≥kg（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值；
（2）若方程f（x）+g（x）=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化為k≤

-x+1

ex

恒成立；令F（x）=

-x+1

ex

，求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值，從而求實(shí)數(shù)k的最大值；
（2）方程f（x）+g（x）=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根可化為g（x）=e^x的圖象與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；結(jié)合圖象求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得，-x+1≥ke^x恒成立，
即k≤

-x+1

ex

恒成立；
令F（x）=

-x+1

ex

，
則F′（x）=

x-2

ex

；
故F（x）=

-x+1

ex

在（-∞，2）上是減函數(shù)，
在[2，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（2）=-e^-2；
故實(shí)數(shù)k的最大值為-e^-2；
（2）方程f（x）+g（x）=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根可化為
g（x）=e^x的圖象與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；
作g（x）=e^x與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象如右圖，
設(shè)g（x）=e^x與y=-f（x）=-a（x-1）相切于點(diǎn)（x，e^x）；
則e^x=

ex-0

x-1

，解得x=2；
則結(jié)合圖象可知，
故0＜-a＜e²；
故-e²＜a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．