Question

已知=（x²+1，p+2），=（3，x），f（x）=，P是實數(shù)．
（1）若存在唯一實數(shù)x，使+與平行，試求P的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，試求y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵+=（x²+4，x+p+2）
∴當+與平行時，有
2（x²+4）=x+p+2，化簡得2x²-x-p-6=0
∵存在唯一實數(shù)x，使+與平行
∴△=1²-8（-p-6）=0，解之得p=-；
（2）∵f（x）==3（x²+4）+（p+2）x=3x²+（p+2）x+12
∴當y=f（x）是偶函數(shù)時，p+2=0，解得p=-2
因此，f（x）=3x²+12，可得y=|f（x）-15|=|3x²-3|
當x∈[-1，1]時，y=|f（x）-15|=3-3x²，最大值為3且最小值為0；
當x∈（1，3]時，y=|f（x）-15|=3x²-3，最大值為24，且最小值大于0
綜上所述，y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的最大值為24，且最小值為0
∴y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域是[0，24]．
分析：（1）當+與平行時，根據(jù)向量平行的條件列式，可得關(guān)于x的一元二次方程，再由存在唯一實數(shù)x使兩個向量平行，運用根的判別式可算出p=-；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，可得f（x）=3x²+（p+2）x+12，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)算出p=-2，從而得到y(tǒng)=|f（x）-15|=|3x²-3|，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，即可得到y(tǒng)=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域．
點評：本題以向量的平行和向量的數(shù)量積運算為載體，著重考查了一元二次方程根的判別式和二次函數(shù)在閉區(qū)間上值域的求法等知識，屬于中檔題．